Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{5})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $5$ est la matrice carrée $5 \times 5$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{5})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] - λ I_{5})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{5}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.11.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.14.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.15.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.16.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.17

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.17.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.17.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.18

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.18.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.18.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.19

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.20

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.20.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.20.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.21

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.21.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.21.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.22

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.22.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.22.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.23

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.23.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.23.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.24

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.24.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.24.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.25

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 2 + 0 & 7 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 2 + 0 & 7 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 2 + 0 & 7 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 2 + 0 & 7 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 2 + 0 & 7 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 2 + 0 & 7 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ - 2 + 0 & 7 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 + 0 \\ - 2 + 0 & 7 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 + 0 & 7 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.9

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.10

Additionnez $7$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.11

Soustrayez $λ$ de $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.12

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.13

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 + 0 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.14

Additionnez $7$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 7 + 0 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.15

Additionnez $7$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 + 0 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.16

Additionnez $4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 - λ & 0 + 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.17

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 + 0 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.18

Additionnez $8$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & 8 + 0 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.19

Additionnez $8$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & 8 & - 7 + 0 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.20

Additionnez $- 7$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.21

Additionnez $- 9$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - & + \\ - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & + \\ - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(7 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 7 - λ & 0 \\ 8 & 8 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 7 - λ & 0 \\ 8 & 8 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.11

The minor for $a_{15}$ is the determinant with row $1$ and column $5$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 - λ \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 \end{array} |$

Étape 5.1.12

Multiply element $a_{15}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 - λ \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 \end{array} |$

Étape 5.1.13

Add the terms together.

$p (λ) = (7 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 7 - λ & 0 \\ 8 & 8 & - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 - λ \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (7 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 7 - λ & 0 \\ 8 & 8 & - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 - λ \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 \end{array} |$

Étape 5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 7 - λ & 0 \\ 8 & 8 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (7 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 - λ \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 \end{array} |$

Étape 5.4

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 0 \\ 8 & 8 & - 7 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (7 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 - λ \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 \end{array} |$

Étape 5.5

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ - 2 & 7 & - λ & 0 \\ 7 & 7 & 4 & 7 - λ \\ 8 & 8 & - 7 & - 9 \end{array} |$ .

$p (λ) = (7 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 7 & - λ & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.6.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.6.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.6.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.6.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 4 & 7 - λ & 0 \\ - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.6.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 4 & 7 - λ & 0 \\ - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.6.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 0 & 0 \\ 7 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.6.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 7 & 0 & 0 \\ 7 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.6.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & - λ & 0 \\ 7 & 4 & 0 \\ 8 & - 7 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.6.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 7 & - λ & 0 \\ 7 & 4 & 0 \\ 8 & - 7 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.6.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & - λ & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ \\ 8 & - 7 & - 9 \end{array} |$

Étape 5.6.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 7 & - λ & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ \\ 8 & - 7 & - 9 \end{array} |$

Étape 5.6.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 4 & 7 - λ & 0 \\ - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 & 0 & 0 \\ 7 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 & - λ & 0 \\ 7 & 4 & 0 \\ 8 & - 7 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 & - λ & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ \\ 8 & - 7 & - 9 \end{array} |) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 7 & 0 & 0 \\ 7 & 7 - λ & 0 \\ 8 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 4 & 7 - λ & 0 \\ - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 7 & - λ & 0 \\ 7 & 4 & 0 \\ 8 & - 7 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 & - λ & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ \\ 8 & - 7 & - 9 \end{array} |) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 7 & - λ & 0 \\ 7 & 4 & 0 \\ 8 & - 7 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 4 & 7 - λ & 0 \\ - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 7 & - λ & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ \\ 8 & - 7 & - 9 \end{array} |) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.4

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 7 & - λ & 0 \\ 7 & 4 & 7 - λ \\ 8 & - 7 & - 9 \end{array} |$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 4 & 7 - λ & 0 \\ - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5

Évaluez $| \begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 4 & 7 - λ & 0 \\ - 7 & - 9 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.6.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.6.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.6.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.6.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ - 9 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.6.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ - 9 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.6.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 7 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.6.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 7 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.6.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 7 - λ \\ - 7 & - 9 \end{array} |$

Étape 5.6.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & 7 - λ \\ - 7 & - 9 \end{array} |$

Étape 5.6.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ | \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 7 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 7 - λ \\ - 7 & - 9 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 7 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ | \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 4 & 7 - λ \\ - 7 & - 9 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 4 & 7 - λ \\ - 7 & - 9 \end{array} |$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ | \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ - 9 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ - 9 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.6.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ ((7 - λ) (3 - λ) - (- 9 \cdot 0)) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.6.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.5.4.2.1.1

Développez $(7 - λ) (3 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.6.5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (7 (3 - λ) - λ (3 - λ) - (- 9 \cdot 0)) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (7 \cdot 3 + 7 (- λ) - λ (3 - λ) - (- 9 \cdot 0)) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (7 \cdot 3 + 7 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 9 \cdot 0)) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.6.5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (21 + 7 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 9 \cdot 0)) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (21 - 7 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 9 \cdot 0)) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (21 - 7 λ - 3 λ - λ (- λ) - (- 9 \cdot 0)) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (21 - 7 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 9 \cdot 0)) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (21 - 7 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 9 \cdot 0)) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (21 - 7 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 9 \cdot 0)) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (21 - 7 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - (- 9 \cdot 0)) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (21 - 7 λ - 3 λ + λ^{2} - (- 9 \cdot 0)) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.1.2.2

Soustrayez $3 λ$ de $- 7 λ$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (21 - 10 λ + λ^{2} - (- 9 \cdot 0)) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.1.3

Multipliez $- (- 9 \cdot 0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.5.4.2.1.3.1

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (21 - 10 λ + λ^{2} - 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (21 - 10 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.2

Additionnez $21 - 10 λ + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (21 - 10 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.3

Déplacez $21$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (- 10 λ + λ^{2} + 21) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.4.2.4

Remettez dans l’ordre $- 10 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (λ^{2} - 10 λ + 21) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.6.5.5.1

Associez les termes opposés dans $- λ (λ^{2} - 10 λ + 21) + 0 + 0$ .

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Étape 5.6.5.5.1.1

Additionnez $- λ (λ^{2} - 10 λ + 21)$ et $0$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (λ^{2} - 10 λ + 21) + 0) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.5.1.2

Additionnez $- λ (λ^{2} - 10 λ + 21)$ et $0$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ (λ^{2} - 10 λ + 21)) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.5.3

Simplifiez

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Étape 5.6.5.5.3.1

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.5.5.3.1.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.5.3.1.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.5.5.3.1.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.5.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.5.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.5.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 21) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.5.3.3

Multipliez $21$ par $- 1$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - 21 λ) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.5.5.4.1

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.5.5.4.1.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - 21 λ) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.5.4.1.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - 21 λ) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.5.5.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.6.1

Associez les termes opposés dans $(3 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ) + 0 + 0 + 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.6.1.1

Additionnez $(3 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ)$ et $0$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.1.2

Additionnez $(3 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ)$ et $0$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ) + 0) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.1.3

Additionnez $(3 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ)$ et $0$ .

$p (λ) = (7 - λ) ((3 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.2

Développez $(3 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = (7 - λ) (3 (- λ^{3}) + 3 (10 λ^{2}) + 3 (- 21 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 3 (10 λ^{2}) + 3 (- 21 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.2

Multipliez $10$ par $3$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} + 3 (- 21 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.3

Multipliez $- 21$ par $3$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.5

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.6.3.5.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.5.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.6.3.5.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.5.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ + 1 λ^{4} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.7

Multipliez $λ^{4}$ par $1$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ + λ^{4} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ + λ^{4} - 1 \cdot 10 λ \cdot λ^{2} - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.9

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.6.3.9.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ + λ^{4} - 1 \cdot 10 (λ^{2} λ) - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.9.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.6.3.9.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ + λ^{4} - 1 \cdot 10 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ + λ^{4} - 1 \cdot 10 λ^{2 + 1} - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ + λ^{4} - 1 \cdot 10 λ^{3} - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.10

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ + λ^{4} - 10 λ^{3} - λ (- 21 λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ + λ^{4} - 10 λ^{3} - 1 \cdot - 21 λ \cdot λ) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.12

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.6.3.12.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ + λ^{4} - 10 λ^{3} - 1 \cdot - 21 (λ \cdot λ)) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.12.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ + λ^{4} - 10 λ^{3} - 1 \cdot - 21 λ^{2}) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.3.13

Multipliez $- 1$ par $- 21$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 3 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ + λ^{4} - 10 λ^{3} + 21 λ^{2}) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.4

Soustrayez $10 λ^{3}$ de $- 3 λ^{3}$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 13 λ^{3} + 30 λ^{2} - 63 λ + λ^{4} + 21 λ^{2}) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.5

Additionnez $30 λ^{2}$ et $21 λ^{2}$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 13 λ^{3} + 51 λ^{2} - 63 λ + λ^{4}) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.6

Déplacez $- 63 λ$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 13 λ^{3} + 51 λ^{2} + λ^{4} - 63 λ) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.7

Déplacez $51 λ^{2}$ .

$p (λ) = (7 - λ) (- 13 λ^{3} + λ^{4} + 51 λ^{2} - 63 λ) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.6.8

Remettez dans l’ordre $- 13 λ^{3}$ et $λ^{4}$ .

$p (λ) = (7 - λ) (λ^{4} - 13 λ^{3} + 51 λ^{2} - 63 λ) + 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 5.7

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.1

Associez les termes opposés dans $(7 - λ) (λ^{4} - 13 λ^{3} + 51 λ^{2} - 63 λ) + 0 + 0 + 0 + 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.1.1

Additionnez $(7 - λ) (λ^{4} - 13 λ^{3} + 51 λ^{2} - 63 λ)$ et $0$ .

$p (λ) = (7 - λ) (λ^{4} - 13 λ^{3} + 51 λ^{2} - 63 λ) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.7.1.2

Additionnez $(7 - λ) (λ^{4} - 13 λ^{3} + 51 λ^{2} - 63 λ)$ et $0$ .

$p (λ) = (7 - λ) (λ^{4} - 13 λ^{3} + 51 λ^{2} - 63 λ) + 0 + 0$

Étape 5.7.1.3

Additionnez $(7 - λ) (λ^{4} - 13 λ^{3} + 51 λ^{2} - 63 λ)$ et $0$ .

$p (λ) = (7 - λ) (λ^{4} - 13 λ^{3} + 51 λ^{2} - 63 λ) + 0$

Étape 5.7.1.4

Additionnez $(7 - λ) (λ^{4} - 13 λ^{3} + 51 λ^{2} - 63 λ)$ et $0$ .

$p (λ) = (7 - λ) (λ^{4} - 13 λ^{3} + 51 λ^{2} - 63 λ)$

Étape 5.7.2

Développez $(7 - λ) (λ^{4} - 13 λ^{3} + 51 λ^{2} - 63 λ)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 7 λ^{4} + 7 (- 13 λ^{3}) + 7 (51 λ^{2}) + 7 (- 63 λ) - λ \cdot λ^{4} - λ (- 13 λ^{3}) - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.3.1

Multipliez $- 13$ par $7$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 7 (51 λ^{2}) + 7 (- 63 λ) - λ \cdot λ^{4} - λ (- 13 λ^{3}) - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.2

Multipliez $51$ par $7$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} + 7 (- 63 λ) - λ \cdot λ^{4} - λ (- 13 λ^{3}) - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.3

Multipliez $- 63$ par $7$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ \cdot λ^{4} - λ (- 13 λ^{3}) - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.4

Multipliez $λ$ par $λ^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.3.4.1

Déplacez $λ^{4}$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - (λ^{4} λ) - λ (- 13 λ^{3}) - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.4.2

Multipliez $λ^{4}$ par $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.3.4.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - (λ^{4} λ^{1}) - λ (- 13 λ^{3}) - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{4 + 1} - λ (- 13 λ^{3}) - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.4.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} - λ (- 13 λ^{3}) - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} - 1 \cdot - 13 λ \cdot λ^{3} - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.6

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.3.6.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} - 1 \cdot - 13 (λ^{3} λ) - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.6.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.3.6.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} - 1 \cdot - 13 (λ^{3} λ^{1}) - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} - 1 \cdot - 13 λ^{3 + 1} - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} - 1 \cdot - 13 λ^{4} - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 13$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} + 13 λ^{4} - λ (51 λ^{2}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} + 13 λ^{4} - 1 \cdot 51 λ \cdot λ^{2} - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.9

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.3.9.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} + 13 λ^{4} - 1 \cdot 51 (λ^{2} λ) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.9.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.7.3.9.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} + 13 λ^{4} - 1 \cdot 51 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} + 13 λ^{4} - 1 \cdot 51 λ^{2 + 1} - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} + 13 λ^{4} - 1 \cdot 51 λ^{3} - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.10

Multipliez $- 1$ par $51$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} + 13 λ^{4} - 51 λ^{3} - λ (- 63 λ)$

Étape 5.7.3.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} + 13 λ^{4} - 51 λ^{3} - 1 \cdot - 63 λ \cdot λ$

Étape 5.7.3.12

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.7.3.12.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} + 13 λ^{4} - 51 λ^{3} - 1 \cdot - 63 (λ \cdot λ)$

Étape 5.7.3.12.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} + 13 λ^{4} - 51 λ^{3} - 1 \cdot - 63 λ^{2}$

Étape 5.7.3.13

Multipliez $- 1$ par $- 63$ .

$p (λ) = 7 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} + 13 λ^{4} - 51 λ^{3} + 63 λ^{2}$

Étape 5.7.4

Additionnez $7 λ^{4}$ et $13 λ^{4}$ .

$p (λ) = 20 λ^{4} - 91 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} - 51 λ^{3} + 63 λ^{2}$

Étape 5.7.5

Soustrayez $51 λ^{3}$ de $- 91 λ^{3}$ .

$p (λ) = 20 λ^{4} - 142 λ^{3} + 357 λ^{2} - 441 λ - λ^{5} + 63 λ^{2}$

Étape 5.7.6

Additionnez $357 λ^{2}$ et $63 λ^{2}$ .

$p (λ) = 20 λ^{4} - 142 λ^{3} + 420 λ^{2} - 441 λ - λ^{5}$

Étape 5.7.7

Déplacez $- 441 λ$ .

$p (λ) = 20 λ^{4} - 142 λ^{3} + 420 λ^{2} - λ^{5} - 441 λ$

Étape 5.7.8

Déplacez $420 λ^{2}$ .

$p (λ) = 20 λ^{4} - 142 λ^{3} - λ^{5} + 420 λ^{2} - 441 λ$

Étape 5.7.9

Déplacez $- 142 λ^{3}$ .

$p (λ) = 20 λ^{4} - λ^{5} - 142 λ^{3} + 420 λ^{2} - 441 λ$

Étape 5.7.10

Remettez dans l’ordre $20 λ^{4}$ et $- λ^{5}$ .

$p (λ) = - λ^{5} + 20 λ^{4} - 142 λ^{3} + 420 λ^{2} - 441 λ$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- λ^{5} + 20 λ^{4} - 142 λ^{3} + 420 λ^{2} - 441 λ = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Factorisez $λ$ à partir de $- λ^{5} + 20 λ^{4} - 142 λ^{3} + 420 λ^{2} - 441 λ$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $λ$ à partir de $- λ^{5}$ .

$λ (- λ^{4}) + 20 λ^{4} - 142 λ^{3} + 420 λ^{2} - 441 λ = 0$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $λ$ à partir de $20 λ^{4}$ .

$λ (- λ^{4}) + λ (20 λ^{3}) - 142 λ^{3} + 420 λ^{2} - 441 λ = 0$

Étape 7.1.1.3

Factorisez $λ$ à partir de $- 142 λ^{3}$ .

$λ (- λ^{4}) + λ (20 λ^{3}) + λ (- 142 λ^{2}) + 420 λ^{2} - 441 λ = 0$

Étape 7.1.1.4

Factorisez $λ$ à partir de $420 λ^{2}$ .

$λ (- λ^{4}) + λ (20 λ^{3}) + λ (- 142 λ^{2}) + λ (420 λ) - 441 λ = 0$

Étape 7.1.1.5

Factorisez $λ$ à partir de $- 441 λ$ .

$λ (- λ^{4}) + λ (20 λ^{3}) + λ (- 142 λ^{2}) + λ (420 λ) + λ \cdot - 441 = 0$

Étape 7.1.1.6

Factorisez $λ$ à partir de $λ (- λ^{4}) + λ (20 λ^{3})$ .

$λ (- λ^{4} + 20 λ^{3}) + λ (- 142 λ^{2}) + λ (420 λ) + λ \cdot - 441 = 0$

Étape 7.1.1.7

Factorisez $λ$ à partir de $λ (- λ^{4} + 20 λ^{3}) + λ (- 142 λ^{2})$ .

$λ (- λ^{4} + 20 λ^{3} - 142 λ^{2}) + λ (420 λ) + λ \cdot - 441 = 0$

Étape 7.1.1.8

Factorisez $λ$ à partir de $λ (- λ^{4} + 20 λ^{3} - 142 λ^{2}) + λ (420 λ)$ .

$λ (- λ^{4} + 20 λ^{3} - 142 λ^{2} + 420 λ) + λ \cdot - 441 = 0$

Étape 7.1.1.9

Factorisez $λ$ à partir de $λ (- λ^{4} + 20 λ^{3} - 142 λ^{2} + 420 λ) + λ \cdot - 441$ .

$λ (- λ^{4} + 20 λ^{3} - 142 λ^{2} + 420 λ - 441) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $- λ^{4} + 20 λ^{3} - 142 λ^{2} + 420 λ - 441$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 441, \pm 3, \pm 147, \pm 7, \pm 63, \pm 9, \pm 49, \pm 21$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 441, \pm 3, \pm 147, \pm 7, \pm 63, \pm 9, \pm 49, \pm 21$

Étape 7.1.2.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.2.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$- 3^{4} + 20 \cdot 3^{3} - 142 \cdot 3^{2} + 420 \cdot 3 - 441$

Étape 7.1.2.3.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- 1 \cdot 81 + 20 \cdot 3^{3} - 142 \cdot 3^{2} + 420 \cdot 3 - 441$

Étape 7.1.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$- 81 + 20 \cdot 3^{3} - 142 \cdot 3^{2} + 420 \cdot 3 - 441$

Étape 7.1.2.3.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 81 + 20 \cdot 27 - 142 \cdot 3^{2} + 420 \cdot 3 - 441$

Étape 7.1.2.3.5

Multipliez $20$ par $27$ .

$- 81 + 540 - 142 \cdot 3^{2} + 420 \cdot 3 - 441$

Étape 7.1.2.3.6

Additionnez $- 81$ et $540$ .

$459 - 142 \cdot 3^{2} + 420 \cdot 3 - 441$

Étape 7.1.2.3.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$459 - 142 \cdot 9 + 420 \cdot 3 - 441$

Étape 7.1.2.3.8

Multipliez $- 142$ par $9$ .

$459 - 1278 + 420 \cdot 3 - 441$

Étape 7.1.2.3.9

Soustrayez $1278$ de $459$ .

$- 819 + 420 \cdot 3 - 441$

Étape 7.1.2.3.10

Multipliez $420$ par $3$ .

$- 819 + 1260 - 441$

Étape 7.1.2.3.11

Additionnez $- 819$ et $1260$ .

$441 - 441$

Étape 7.1.2.3.12

Soustrayez $441$ de $441$ .

$0$

Étape 7.1.2.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $λ - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- λ^{4} + 20 λ^{3} - 142 λ^{2} + 420 λ - 441}{λ - 3}$

Étape 7.1.2.5

Divisez $- λ^{4} + 20 λ^{3} - 142 λ^{2} + 420 λ - 441$ par $λ - 3$ .

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Étape 7.1.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

Étape 7.1.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- λ^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				-	$λ^{3}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{4}$	+	$20 λ^{3}$	-	$142 λ^{2}$	+	$420 λ$	-	$441$

Étape 7.1.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{3}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{4}$	+	$20 λ^{3}$	-	$142 λ^{2}$	+	$420 λ$	-	$441$
			-	$λ^{4}$	+	$3 λ^{3}$

Étape 7.1.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- λ^{4} + 3 λ^{3}$

			-	$λ^{3}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{4}$	+	$20 λ^{3}$	-	$142 λ^{2}$	+	$420 λ$	-	$441$
			+	$λ^{4}$	-	$3 λ^{3}$

Étape 7.1.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

Étape 7.1.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

Étape 7.1.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $17 λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

Étape 7.1.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$17 λ^{3}$

$51 λ^{2}$

Étape 7.1.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $17 λ^{3} - 51 λ^{2}$

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$17 λ^{3}$

$51 λ^{2}$

Étape 7.1.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$17 λ^{3}$

$51 λ^{2}$

$91 λ^{2}$

Étape 7.1.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$17 λ^{3}$

$51 λ^{2}$

$91 λ^{2}$

$420 λ$

Étape 7.1.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 91 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$91 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$17 λ^{3}$

$51 λ^{2}$

$91 λ^{2}$

$420 λ$

Étape 7.1.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$91 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$17 λ^{3}$

$51 λ^{2}$

$91 λ^{2}$

$420 λ$

$91 λ^{2}$

$273 λ$

Étape 7.1.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 91 λ^{2} + 273 λ$

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$91 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$17 λ^{3}$

$51 λ^{2}$

$91 λ^{2}$

$420 λ$

$91 λ^{2}$

$273 λ$

Étape 7.1.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$91 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$17 λ^{3}$

$51 λ^{2}$

$91 λ^{2}$

$420 λ$

$91 λ^{2}$

$273 λ$

$147 λ$

Étape 7.1.2.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$91 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$17 λ^{3}$

$51 λ^{2}$

$91 λ^{2}$

$420 λ$

$91 λ^{2}$

$273 λ$

$147 λ$

$441$

Étape 7.1.2.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $147 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$91 λ$

$147$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$17 λ^{3}$

$51 λ^{2}$

$91 λ^{2}$

$420 λ$

$91 λ^{2}$

$273 λ$

$147 λ$

$441$

Étape 7.1.2.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$91 λ$

$147$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$17 λ^{3}$

$51 λ^{2}$

$91 λ^{2}$

$420 λ$

$91 λ^{2}$

$273 λ$

$147 λ$

$441$

$147 λ$

$441$

Étape 7.1.2.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $147 λ - 441$

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$91 λ$

$147$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$17 λ^{3}$

$51 λ^{2}$

$91 λ^{2}$

$420 λ$

$91 λ^{2}$

$273 λ$

$147 λ$

$441$

$147 λ$

$441$

Étape 7.1.2.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$91 λ$

$147$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$20 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$420 λ$

$441$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$17 λ^{3}$

$142 λ^{2}$

$17 λ^{3}$

$51 λ^{2}$

$91 λ^{2}$

$420 λ$

$91 λ^{2}$

$273 λ$

$147 λ$

$441$

$147 λ$

$441$

$0$

Étape 7.1.2.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- λ^{3} + 17 λ^{2} - 91 λ + 147$

Étape 7.1.2.6

Écrivez $- λ^{4} + 20 λ^{3} - 142 λ^{2} + 420 λ - 441$ comme un ensemble de facteurs.

$λ ((λ - 3) (- λ^{3} + 17 λ^{2} - 91 λ + 147)) = 0$

Étape 7.1.3

Factorisez $- λ^{3} + 17 λ^{2} - 91 λ + 147$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 147, \pm 3, \pm 49, \pm 7, \pm 21$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 147, \pm 3, \pm 49, \pm 7, \pm 21$

Étape 7.1.3.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.3.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$- 3^{3} + 17 \cdot 3^{2} - 91 \cdot 3 + 147$

Étape 7.1.3.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 17 \cdot 3^{2} - 91 \cdot 3 + 147$

Étape 7.1.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$- 27 + 17 \cdot 3^{2} - 91 \cdot 3 + 147$

Étape 7.1.3.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 27 + 17 \cdot 9 - 91 \cdot 3 + 147$

Étape 7.1.3.3.5

Multipliez $17$ par $9$ .

$- 27 + 153 - 91 \cdot 3 + 147$

Étape 7.1.3.3.6

Additionnez $- 27$ et $153$ .

$126 - 91 \cdot 3 + 147$

Étape 7.1.3.3.7

Multipliez $- 91$ par $3$ .

$126 - 273 + 147$

Étape 7.1.3.3.8

Soustrayez $273$ de $126$ .

$- 147 + 147$

Étape 7.1.3.3.9

Additionnez $- 147$ et $147$ .

$0$

Étape 7.1.3.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $λ - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- λ^{3} + 17 λ^{2} - 91 λ + 147}{λ - 3}$

Étape 7.1.3.5

Divisez $- λ^{3} + 17 λ^{2} - 91 λ + 147$ par $λ - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$17 λ^{2}$

$91 λ$

$147$

Étape 7.1.3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$

Étape 7.1.3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Étape 7.1.3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- λ^{3} + 3 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Étape 7.1.3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$14 λ^{2}$

Étape 7.1.3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$14 λ^{2}$	-	$91 λ$

Étape 7.1.3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $14 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$14 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$14 λ^{2}$	-	$91 λ$

Étape 7.1.3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$14 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$14 λ^{2}$	-	$91 λ$
					+	$14 λ^{2}$	-	$42 λ$

Étape 7.1.3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $14 λ^{2} - 42 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$14 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$14 λ^{2}$	-	$91 λ$
					-	$14 λ^{2}$	+	$42 λ$

Étape 7.1.3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$14 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$14 λ^{2}$	-	$91 λ$
					-	$14 λ^{2}$	+	$42 λ$
							-	$49 λ$

Étape 7.1.3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$λ^{2}$	+	$14 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$14 λ^{2}$	-	$91 λ$
					-	$14 λ^{2}$	+	$42 λ$
							-	$49 λ$	+	$147$

Étape 7.1.3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 49 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$14 λ$	-	$49$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$14 λ^{2}$	-	$91 λ$
					-	$14 λ^{2}$	+	$42 λ$
							-	$49 λ$	+	$147$

Étape 7.1.3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$λ^{2}$	+	$14 λ$	-	$49$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$14 λ^{2}$	-	$91 λ$
					-	$14 λ^{2}$	+	$42 λ$
							-	$49 λ$	+	$147$
							-	$49 λ$	+	$147$

Étape 7.1.3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 49 λ + 147$

			-	$λ^{2}$	+	$14 λ$	-	$49$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$14 λ^{2}$	-	$91 λ$
					-	$14 λ^{2}$	+	$42 λ$
							-	$49 λ$	+	$147$
							+	$49 λ$	-	$147$

Étape 7.1.3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$λ^{2}$	+	$14 λ$	-	$49$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$17 λ^{2}$	-	$91 λ$	+	$147$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$14 λ^{2}$	-	$91 λ$
					-	$14 λ^{2}$	+	$42 λ$
							-	$49 λ$	+	$147$
							+	$49 λ$	-	$147$
										$0$

Étape 7.1.3.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- λ^{2} + 14 λ - 49$

Étape 7.1.3.6

Écrivez $- λ^{3} + 17 λ^{2} - 91 λ + 147$ comme un ensemble de facteurs.

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) (- λ^{2} + 14 λ - 49))) = 0$

Étape 7.1.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1.4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1.4.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 49 = 49$ et dont la somme est $b = 14$ .

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Étape 7.1.4.1.1.1

Factorisez $14$ à partir de $14 λ$ .

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) (- λ^{2} + 14 (λ) - 49))) = 0$

Étape 7.1.4.1.1.2

Réécrivez $14$ comme $7$ plus $7$

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) (- λ^{2} + (7 + 7) λ - 49))) = 0$

Étape 7.1.4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) (- λ^{2} + 7 λ + 7 λ - 49))) = 0$

Étape 7.1.4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1.4.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) ((- λ^{2} + 7 λ) + 7 λ - 49))) = 0$

Étape 7.1.4.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) (λ (- λ + 7) - 7 (- λ + 7)))) = 0$

Étape 7.1.4.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- λ + 7$ .

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) ((- λ + 7) (λ - 7)))) = 0$

Étape 7.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) (- λ + 7) (λ - 7))) = 0$

Étape 7.1.5

Associez les exposants.

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Étape 7.1.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- λ$ .

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) (- (λ) + 7) (λ - 7))) = 0$

Étape 7.1.5.2

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) (- (λ) - 1 \cdot - 7) (λ - 7))) = 0$

Étape 7.1.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (λ) - 1 (- 7)$ .

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) (- (λ - 7)) (λ - 7))) = 0$

Étape 7.1.5.4

Réécrivez $- (λ - 7)$ comme $- 1 (λ - 7)$ .

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) (- 1 (λ - 7)) (λ - 7))) = 0$

Étape 7.1.5.5

Supprimez les parenthèses.

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) \cdot (- 1 (λ - 7) (λ - 7)))) = 0$

Étape 7.1.5.6

Élevez $λ - 7$ à la puissance $1$ .

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) \cdot (- 1 ((λ - 7) (λ - 7))))) = 0$

Étape 7.1.5.7

Élevez $λ - 7$ à la puissance $1$ .

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) \cdot (- 1 ((λ - 7) (λ - 7))))) = 0$

Étape 7.1.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) \cdot (- 1 {(λ - 7)}^{1 + 1}))) = 0$

Étape 7.1.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$λ ((λ - 3) ((λ - 3) \cdot (- 1 {(λ - 7)}^{2}))) = 0$

Étape 7.1.6

Factorisez.

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Étape 7.1.6.1

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.6.1.1

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.6.1.1.1

Factorisez le signe négatif.

$λ ((λ - 3) (- ((λ - 3) {(λ - 7)}^{2}))) = 0$

Étape 7.1.6.1.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$λ ((λ - 3) (- (λ - 3) {(λ - 7)}^{2})) = 0$

Étape 7.1.6.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$λ ((λ - 3) \cdot (- 1 (λ - 3) {(λ - 7)}^{2})) = 0$

Étape 7.1.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$λ (λ - 3) \cdot (- 1 (λ - 3) {(λ - 7)}^{2}) = 0$

Étape 7.1.7

Associez les exposants.

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Étape 7.1.7.1

Factorisez le signe négatif.

$- ((λ (λ - 3) (λ - 3)) {(λ - 7)}^{2}) = 0$

Étape 7.1.7.2

Élevez $λ - 3$ à la puissance $1$ .

$- (λ ((λ - 3) (λ - 3)) {(λ - 7)}^{2}) = 0$

Étape 7.1.7.3

Élevez $λ - 3$ à la puissance $1$ .

$- (λ ((λ - 3) (λ - 3)) {(λ - 7)}^{2}) = 0$

Étape 7.1.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (λ {(λ - 3)}^{1 + 1} {(λ - 7)}^{2}) = 0$

Étape 7.1.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (λ {(λ - 3)}^{2} {(λ - 7)}^{2}) = 0$

Étape 7.1.8

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- λ {(λ - 3)}^{2} {(λ - 7)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ = 0$

${(λ - 3)}^{2} = 0$

${(λ - 7)}^{2} = 0$

Étape 7.3

Définissez $λ$ égal à $0$ .

$λ = 0$

Étape 7.4

Définissez ${(λ - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.4.1

Définissez ${(λ - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(λ - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez ${(λ - 3)}^{2} = 0$ pour $λ$ .

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Étape 7.4.2.1

Définissez le $λ - 3$ égal à $0$ .

$λ - 3 = 0$

Étape 7.4.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 3$

Étape 7.5

Définissez ${(λ - 7)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.5.1

Définissez ${(λ - 7)}^{2}$ égal à $0$ .

${(λ - 7)}^{2} = 0$

Étape 7.5.2

Résolvez ${(λ - 7)}^{2} = 0$ pour $λ$ .

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Étape 7.5.2.1

Définissez le $λ - 7$ égal à $0$ .

$λ - 7 = 0$

Étape 7.5.2.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 7$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- λ {(λ - 3)}^{2} {(λ - 7)}^{2} = 0$ vraie.

$λ = 0, 3, 7$